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2014高考数学试卷

2014高考数学押题:填空题
1.设集合A={x||x|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则?R(A∩B)=________.
解析 由已知条件可得A=[-[pic]2,2],B=[-4,0],
∴?R(A∩B)=(-∞,-2)∪(0,+∞).
答案 (-∞,-2)∪(0,+∞)
2.若复数z满足(1+2i)z=-3+4i([pic]i是虚数单位),则z=________.
解析 ∵(1+2i)z=-3+4i,∴z====1+2i.
答案 1+2i
3.某中学为了了解学生的课外阅读情况,随[pic]机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的
[pic]数据,结果用下图的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为______[pic]
__. [pic]
解析 一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比,即 =0.97(小时).
答案 0.97小时
4.已知向量a,b的夹角为90°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=________.[pic]
解析 利用数量积的运算性质求解.由a,[pic]b的夹角是90°可得a·b=0,所以|a-b|= ==.
答案 
5.已知变量x,y满足则x+y的最小值是______.
解析 先由不等式组确定平面区域,再平移目标函数得最小值.作出不等式组对应的平面区域如图,当目标函数
x+y经过点(1,1)时,取得最小值2.
答案 2
6.函数f(x)=log2x-的零点所在的区间是________.
解析 利用零点存在定理求解.因为f(1)f(2)=(-1)·<0,所以由零点存在定理可知零点所在的区间是(1,2).

答案 (1,2)
7.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是________.[pic]
解析 由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)×1=1,n=n+1=2,依次循环s=(1+2)×2=6,n=3,
注意此刻3>3仍然否,所以还要循环一次s=(6+3)×3=27,n=4,此刻输出s=27.
答案 27
8.已知四棱锥V -ABCD,底面ABCD是边长为3的正方形,VA⊥平面ABCD,且VA=4,则此四棱锥的侧面中,所有直角三
角形的面积的和是[pic]________.
解析 可证四个侧面都是直角三角形,其面积S=2××3×4+2××[pic]3×5=27.
答案 27

2014高考数学押题:几何证明
1.几何证明选做题)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=    .

解析:由BC∥PE,得∠C=∠PED,
又∠A=∠C,
得∠PED=∠A,
∠P为△DPE与△EPA的公共角,
所以△PED∽△PAE, =,PE2=PD·PA.
由PD=2,DA=1,
得PA=3,PE=.
答案:
2.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE=   .

解析:由∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°知△ABE∽△ADC,则=,AE===2.
答案:2
3.如图,☉O和☉O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点,连结DB并延长交☉O于点E.证明:

(1)AC·BD=AD·AB;
(2)AC=AE.
证明:(1)由AC与☉O′相切于A,得∠CAB=∠ADB,
同理∠ACB=∠DAB,
所以△ACB∽△DAB,从而=,
即AC·BD=AD·AB.
(2)由AD与☉O相切于A,得∠AED=∠BAD,
又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD.
从而=,
即AE·BD=AD·AB,
结合(1)的结论,AC=AE.
直线和圆的位置关系
1.如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为    .

解析:因为AE是圆的切线,

AB∥DC,
所以BC=AD=AB=5,
又BE=4,
则EA2=EB×EC=4×9=36,
EA=6.
由∠CDB=∠CAB=∠ACB=∠BAE,
即∠CDB=∠BAE,∠DCB=∠ABE,
得△DCB∽△ABE,则=,
则BD==.
答案:
2.如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EF⊥DB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=   .

解析:∵Rt△DEF∽Rt△DBE,
∴=,即DE2=DF·DB,
又由相交弦定理得DE2=AE·EB=1×5=5,
∴DF·DB=5.
答案:5
3.如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为    .

解析:由相交弦定理知AF×FB=EF×FC,
又∵AF=3,FB=1,EF=,
∴FC=2,
又∵FC∥BD,∴==,∴BD=,
又∵==,∴AD=4CD.
又由切割线定理知DB2=DC·DA,
∴=4CD2,∴CD=.
答案:
4.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3 cm,4 cm,以AC为直径的圆与AB交于点D,则BD=     cm.

解析:法一 Rt△ABC中,AC=3,BC=4,
∴AB=5.

如图,连接CD,则CD⊥AB.
由射影定理得BC2=BD·AB,
即42=5·BD,
∴BD=(cm).
法二 ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AC为☉O的直径,
∴AB=5,BC为☉O的切线,AB为☉O的割线,
∴BC2=BD·AB,∴42=5·BD,
∴BD=(cm).
答案:
5.如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明:DB=DC;
(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
(1)证明:连接DE,交BC于点G.

由弦切角定理得,
∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又DB⊥BE,
所以DE为直径,
则∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,
所以BG=.
设DE的中点为O,连接BO,
则∠BOG=60°.
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF外接圆的半径等于.
6.如图所示,AB为☉O直径,直


直线CD与☉O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,连接AE,BE.证明:

(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
证明: (1)由直线CD与☉O相切,
得∠CEB=∠EAB.
由AB为☉O的直径,
得AE⊥EB,
从而∠EAB+∠EBF=;
又EF⊥AB,得
∠FEB+∠EBF=,
从而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,
∠FEB=∠CEB,BE是公共边,
得Rt△BCE≌Rt△BFE,
所以BC=BF.
类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,
得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,
故EF2=AF·BF,
所以EF2=AD·BC.
7. (选修41:几何证明选讲)如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.

(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,
所以∠DBC=∠EFA.

因为B,E,F,C四点共圆,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.
(2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,
所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.
由DB=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·BA=2DB2,
所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,
故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
8.如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.

(1)证明:C,B, D,E四点共圆;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.
(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,
即=.
又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,
因此∠ADE=∠ACB,
∴∠ACB+∠EDB=180°,
∴C、B、D、E四点共圆.
(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.
因为C、B、D、E四点共圆,
∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,
从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,
故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.


相似三角形的判定与性质
1.如图所示,AB是半径等于3的☉O的直径,CD是☉O的弦,BA,DC的延长线交于点P,若PA=4,PC=5,则∠CBD=    .

解析:连接AC,DO,OC,
可得△PAC∽△PDB,

∴=.
∴PD=8,CD=3.
又OC=OD=3,∴△OCD为等边三角形.
∴∠COD=60°,∴∠CBD=∠COD=30°.
答案:30°
2.如图所示,已知C点在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,∠ACB的平分线CD交AE于点F,交AB于点D.

(1)求∠ADF的度数;
(2)若AB=AC,求AC∶BC.
解:(1)∵AC为圆O的切线,
∴∠B=∠EAC,
又∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠DCB,
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF=∠AFD.
又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE=90°,
∴∠ADF=(180°-∠DAE)=45°.
(2)∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB,
∴△ACE∽△BCA,
∴=.又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=30°,
∴在Rt△ABE中, =tan B=tan 30°=,
∴==.
3.如图所示,AB是☉O的直径,弦BD


、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且BD·BE=BA·BF,求证:

(1)EF⊥FB;
(2)∠DFB+∠DBC=90°.
证明:(1)连接AD.

在△ADB和△EFB中,
∵BD·BE=BA·BF,
∴=.
又∠DBA=∠FBE,
∴△ADB∽△EFB,
又∵AB为☉O直径,
∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.
(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,
∴E、F、A、D四点共圆,
∴∠DFB=∠AEB.
又AB是☉O的直径,则∠ACB=90°,
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.
直线和圆的位置关系
1.如图所示,PC与圆O相切于点C,直线PO交圆O于A,B两点,弦CD垂直AB于E,则下面结论中,错误的结论是(  )

(A)△BEC∽△DEA
(B)∠ACE=∠ACP
(C)DE2=OE·EP
(D)PC2=PA·AB
解析:由切割线定理可知PC2=PA·PB,所以选项D错误,故选D.
答案:D
2.如图所示,AB是☉O的直径,P是AB延长线上的一点,过P作☉O的切线,切点为C,PC=2,若∠CAP=30°,则PB=   .

解析:连接OC,因为PC=2,∠CAP=30°,
所以OC=2tan 30°=2,则AB=2OC=4,
由切割线定理得PC2=PB·PA=PB·(PB+BA),
解得PB=2.
答案:2
3.如图所示,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,
AE= AB,BD,CE相交于点F.

(1)求证:A,E,F,D四点共圆;
(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
(1)证明:∵AE=AB,∴BE=AB.
又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,
∴∠ADF+∠AEF=π,
∴A,E,F,D四点共圆.
(2)解:如图所示,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.

∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.
∵AD=AC=,∠DAE=60°,
∴△AGD为正三角形,
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,
所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.
由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.
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1.如图所示,已知AD=5,DB=8,AO=3,则圆O的半径OC的长为    .

解析:取BD的中点M,连接OM,OB,
则OM⊥BD,因为BD=8,所以DM=MB=4,AM=5+4=9,

所以OM2=AO2-AM2=90-81=9,所以半径OB====5,即OC=5.
答案:5
2.如图所示,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆O的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,则线段AE的长为    .

解析:如图所示,连接OE,OC.
∵直线l与圆O相切于点C,

∴OC⊥l.
又∵AD⊥l,
∴OC∥AD,
∴∠DAB=∠COB.
又圆O的直径AB=8,BC=4,
∴△COB为等边三角形,
∴∠COB=60°,∴∠DAB=60°,
∴△AEO也为等边三角形,
∴AE=OA=4.
答案:4
3.如图所示,已知圆O外有一点P,作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N,作割线NAB,交圆于A、B两点,连接PA并延长,交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MC=BC.

(1)求证:△APM∽△ABP;
(2)求证:四边形PMCD是平行四边形.
证明:(1)∵PM是圆O的切线,NAB是圆O的割线,N是PM的中点,
∴MN2=PN2=NA·NB, ∴=,
又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP,
∴∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA.
∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC,
∴∠MAP=∠PAB,
∴△APM∽△ABP.
(2)∵∠ACD=∠PBN,
∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM,
∴PM∥CD,
∵△APM∽△ABP,∴∠PMA=∠BPA,
∵PM是圆O的切线,∴∠P

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